Question

已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知点M的坐标为（2，1），斜率为的直线L交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率为k₁，k₂，求：k₁+k₂的 值

Answer

（1）（2）0

【解析】

试题分析：（1）由椭圆离心率和右焦点到直线y=x的距离为可求得的关系式，解方程可求得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，转化为x的二次方程，将k1，k2转化为A,B,M坐标表示，从而求得k1+k2的值

试题解析：（1）右焦点（c，0），则，又，a2=b2+c2，

联立解得c=，a=，b=2．∴椭圆E的方程为

（2）设直线l的方程为：y=x+m，联立，

化为：x2+2mbx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．又k1=，k2=．

∴k1+k2=+=

分子=+=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）

=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，

∴k1+k2=0。

考点：椭圆方程及性质；直线与椭圆相交的综合问题