Question

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的蓌形，PA⊥平面ABCD,PA=2,∠ABC=60°，E,F分别是BC,PC的中点。

（1）求证：AE⊥PD；

（2）求二面角E-AF-C的余弦值。

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，容易得出AE⊥BC，AE⊥AD，而PA⊥平面ABCD，所以便可得到AE⊥平面PAD，所以得到AE⊥PD；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知AE，AD，PA三条直线两两垂直，所以可分别以这三条直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后分别设平面AEF，和平面ACF的法向量为

可设菱形的边长为2，根据条件可求出向量的坐标，根据法向量和这三个向量的垂直关系即可求出的坐标，所以求这两个向量夹角的余弦值就可得到二面角E-AF-C的余弦值

试题解析：（Ⅰ）BC=AB，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC是等边三角形；

又E是BC中点，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；

PA⊥面ABCD，AE⊂平面ABCD，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A；

∴AE⊥平面PAD，∴AE⊥PD

（2）以菱形对角线交点为原点建立坐标系更好求点坐标（个人观点）

＝（,0,0），＝（，，1）

设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1)，则，因此取z1=-1，则m=(0,2,-1)分 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），所以cos＜m,＞=.因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质