Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积。

Answer

（1）y2=4x（2）

【解析】

试题分析：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出；（2）F（1，0）．设M，N．直线l的方程为：y=x-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积即可得出

试题解析：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．

∴抛物线C的方程为：y2=4x．

（2）F（1，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．

直线l的方程为：y=x﹣1．联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，x1x2=1．

∴|MN|===8．原点O到直线MN的距离d=．∴△OMN的面积S===．

考点：抛物线的简单性质