Question

已知圆的圆心为原点，且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点.

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（2，0），得证

试题解析：（1）依题意得：圆的半径，……………2分

所以圆的方程为。……………4分

（2）是圆的两条切线，。

在以为直径的圆上。……………6分

设点的坐标为，则线段的中点坐标为。

以为直径的圆方程为……………8分

化简得：

为两圆的公共弦，

直线的方程为……………10分

所以直线恒过定点。……………12分

考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；圆的标准方程