Question

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面；

（3）求直线与平面所成角的正切值．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证

（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可

试题解析：（1）连接，，在平行四边形中，

∵为的中点，∴为的中点，又为的中点，∴，………2分

∵平面，平面，∴平面；…………………4分

（2）∵，且，∴，即。………6分

又平面，平面，∴，

∵，∴平面．…………………8分

（3）取的中点，连接，，所以，，

由平面，得平面 ，

所以是直线与平面所成的角．…………………10分

在中，，，所以．

从而．

在中，．

即直线与平面所成角的正切值为．…………………12分

考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角