Question

已知数列的前项和为，对任意的，点恒在函数的图象上.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）利用求解；（2）要使对于一切的正整数n恒成立，只需中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式得，由不等式恒成立可得正整数

试题解析：（1）由已知，得 ……1分

当时，…2分

当时，. ∴………3分

（2）解法一：.4分

当时，，即；当时，，即；

当时，，即 …………6分

∴中的最大值为，

要使对于一切的正整数恒成立，只需 ∴ ……7分[来源:

解法二： ……4分

当时，；当时，

∴时，；时，

时， ……………6分

∴中的最大值为，

要使对于一切的正整数恒成立，只需 ∴ ………7分

（3） ……8分

将代入，化简得，（﹡）………9分

若时，，显然时成立； 10分

若时，（﹡）式化简为不可能成立 ……………11分

综上，存在正整数使成立 ……12分

考点：数列与函数的综合；数列的应用