Question

在中，内角的对边分别为，已知.

（1）求角的值；

（2）若，当取最小值时，求的面积.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积

试题解析：解法一（1）∵，∴ ……………………1分

∴ ……………2分

即 ……………3分

∴ 4分

∵ ∴ …………5分

又∵是三角形的内角，∴ ……6分

（2）由余弦定理得： …………7分

∵ ,故 8分

∴ （当且仅当时等号成立） ………10分

∴的最小值为2，故 ……12分

解法二：（1）∵，∴ ………1分

∴ ，即 …………3分

∴ …5分

又∵是三角形的内角，∴ 6分

（2）由已知，，即，故：

……………8分

∴ …………10分

∴当时，的最小值为2，故 …………12分

考点：正余弦定理解三角形及三角函数基本公式