Question

已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由函数，所以在区间上是增函数，故 ，由此解得、的值；（2）不等式可化为 ，故有 ，求出的最大值，从而求得的取值范围．

试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故解得；

（2）由（1）得，由已知可得，

所以可化为，化为，

令，则，因为，故，

记，因为，故，所以的取值范围是．

考点：（1）二次函数在闭区间上的最值；（2）函数的零点与方程根的关系.

【方法点晴】本题主要考查利用二次函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，结合单调性求出或即得解.