Question

已知正三棱柱如图所示，其中是的中点，分别在线段，上运动，使得平面，是上的一点，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求线段的最小值.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接，得，由平面，得，由，得，结合上述可得平面，故可得结论；（2）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，得面的一个法向量为，面的一个法向量为，求出两向量的夹角即可；（3）设，，知为平面的一个法向量，知，得，列出的表达式，求出函数的最值即可.

试题解析：（1）如图，连接，因为是的中点，所以，所以平面.因为平面，所以.

因为，且，所以，所以.因为

，所以平面.因为平面，所以.

（2）如图，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，,.

所以，.

设平面的法向量为，则，即，

令，得，则平面的一个法向量为.

又平面的一个法向量为，

所以所求二面角的余弦值为.

（3）由题意，可设，，

由，得，又，所以，所以

.易知为平面的一个法向量.

因为平面，所以，即，

所以，

又因为，

所以当时，线段有最小值.

考点：（1）线线垂直的判定；（2）二面角的余弦值；（3）空间中的距离问题.