Question

已知数列满足，，.

（1）求证：数列是等比数列，并且求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在数列的递推式两边同时取倒数，构造出，易证其为等比数列，故可得其通项公式；（2）结合（1）得，利用分组求和与分组求和相结合求其前项和.

试题解析：（1）由，

所以

即

所以数列是以为首项，为公比的等比数列

所以数列的通项公式为

（2）

设

则

两式相减得

所以

又

所以.

考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和；（3）数列递推式.

【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，构造等比数列是解决本题的关键所在，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.