Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）①当时，判断函数的奇偶性并证明，并判断是否有上界，并说明理由；

②若，函数在上的上界是，求的取值范围.

Answer

(1)函数在上不是有界函数；(2)①奇函数，证明见解析，有上界，理由解析；②.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用有界函数的定义及指数函数的有关知识求解；(2)借助题设运用函数的奇偶性及函数的单调性等有关知识求解推证.

试题解析：

（1）当时，

因为在上递减，所以，

即在的值域为

故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数.

注：令，……再求出的值域，同样给分.

（2）①当时，，显然定义域为,

又

∴为奇函数.

由于，

∴，存在为上界

②，

∵，，∴在上递减，

∴，即

，∴

∴

考点：函数的基本性质及新定义的有界函数等有关知识的综合运用.

【易错点晴】定义新概念有界函数及函数的上界是本题的一大特色和亮点.本题设置了新定义的概念入手精心设置了一道综合考查和检查与指数有关的函数的单调性奇偶性等综合性的应用问题.求解时第一问时直接运用新定义的有界函数进行推证；第二问则灵活巧妙地运用奇函数的定义直接加以验证从而获证；第二个问题则构造函数函数,从而运用单调性建立不等式,从而推出使得问题获证.