Question

已知二次函数的图象过点，对任意满足，且最小值是.

（1）求的解析式；

（2）设函数，其中，求在区间上的最小值；

（3）若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的取值范围.

Answer

(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用二次函数的有关知识求解；(2)借助题设运用分类整合的数学思想求解；(3)依据题设将不等式中的参数分离出来,运用函数思想求解.

试题解析：

（1）设，由于过点，∴ ①

由得，对称轴为，即②

又③

由①②③得：.

（2），其对称轴为.

（i）当时，函数在上单调递增，最小值为；

（ii）当时，函数的最小值为；

（iii）当时，函数在上单调递减，最小值.

所以

（3）由已知：对恒成立

∴对恒成立.

∴

在上的最小值为，

∴.

考点：二次函数分类整合思想及转化化归思想等有关知识和方法的综合运用.

【易错点晴】本题以二次函数所满足的三个条件为背景,设置了一道关于(1)求二次函数解析式问题；(2)依据该二次函数的解析式为条件构造的一个含参数的二次函数的最小值问题；(3)不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题.以此来检测所学知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解第一问时,直接运用题设建立方程组求解；第二问则是将问题转化二次函数分类求解,再进行整合求得；第三问则先运用等价转化分离参数,再依据二次函数的知识求解出.