Question

已知函数（）．

（1）若函数的最大值为，，试比较与的大小；

（2）若不等式与在上均恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，，当时，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，分两种情况比较大小；（2）由且得，，，再由，得，可得结果.

试题解析：（1）．

令，得，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，故．

当时，，∴，∴；

当时，，∴，∴．

（2）由且得，，

令，则，

设，则，

所以，所以在上单调递增，

所以，所以．

又，

所以，

综上，．

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得实数的取值范围的.