Question

在平面直角坐标系中，点为曲线上任意一点，且到定点的距离比到轴的距离多1．

（1）求曲线的方程；

（2）点为曲线上一点，过点分别作倾斜角互补的直线， 与曲线分别交于， 两点，过点且与垂直的直线与曲线交于， 两点，若，求点的坐标．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）利用到定点的距离和到定直线的距离的关系，列出方程即为曲线方程；（2）先考虑特殊情况，当的横坐标小于零时，求得其纵坐标为不合题意.当的横坐标不小于零时，曲线的方程可化为，分别设出的坐标，求出斜率利用两个斜率相等，可求得直线的方程，利用抛物线的弦长公式可求得的纵坐标.

试题解析：（1）设，则，此即为的方程，

（2）当的横坐标小于零时， ，即，不合题意，

当的横坐标不小于零时， ，设， ， 则.

直线的倾斜角互补， 即，化简得，

.

故直线的方程为，即，代入得， ，

又，即，解得

故点的坐标为或.