Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：①；

②曲线上的所有点都落在圆内．

Answer

（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求单调区间，只要求得导函数，然后解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；（Ⅱ）①要证不等式，只要证，因此可设，求导后研究它的单调性，得最小值，若最小值不小于0，即证；②要证此命题就是要证不等式，为此利用①把放缩，由可得，从而有，代入可证得结论．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，由于，故只需要考虑的单调性

令 则

再令 则

当时，，则单调递增，又，∴

则 ∴单调递减 ∴ ∴

∴的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）①令

则在单调递减 ∴ 即

②由①得

∴

∴

故曲线上的所有点都落在圆内．

考点：导数与函数的单调性，利用导数证明不等式，导数的综合应用．

【名师点睛】通过导数证明不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索．常常把不等式的证明转化为求函数的最值（或极值）．