Question

已知，，设．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）已知，：使不等式成立；：函数的定义域为．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）3；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积，求出，在和同时出现时，可用换元法，设，把函数化为二次函数，利用二次函数的性质可求得最大值；（Ⅱ）命题为真，即的最大值，得范围，函数的定义域为即恒成立，可得命题为真时的的范围，结合复合命题的真值表可求得结论．

试题解析：（Ⅰ）

令，则，

∴，

∴

（Ⅱ）若使不等式成立 则 7分

若函数的定义域为 则 9分

∵“或”为真，“且”为假 ∴、一真一假

若真假，则

若真假，则

综上可知，实数的取值范围为

考点：向量的数量积，换元法求函数最值，复合命题的真假．

【名师点睛】复合命题的真假的判断可通过其真值表判断，从真值表可看出，为真至少有一个为真，为假均为假，为真均为真，为假至少有一个为假，与的真假相反．