Question

已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递增函数。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，若能取遍内的所有实数，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由幂函数的定义知，再由幂函数的性质得，由此可解得，得解析式；（Ⅱ）题意说明的值域包含，因此可利用导数求其值域，，显然当时，，是单调减函数，值域为R，符合题意，当时，有实根，则要求的最小值小于或等于0即可．

试题解析：（Ⅰ）∵为幂函数 ∴

又在区间上是单调递增函数 ∴

则 ∵ ∴或或

当时，为奇函数，不合题意，舍去

当时，为偶函数，符合题意

当时，为奇函数，不合题意，舍去

故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，则单调递减，其值域为，满足题意

②当时，由得，则在单调递减，在单调递增，∴，则其值域为

∵能取遍内的所有实数 ∴只需

令 则在单调递增

又 ∴

综合①②知，实数的取值范围为

考点：幂函数的定义，导数与函数的值域．