Question

选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的方程为.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点的直角坐标为，圆与直线交于两点，求的值.

Answer

（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）消去参数得直线的普通方程为，由得圆的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线的参数方程可知直线过点，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，化简得,，故设是上述方程的两个实数根，所以， 两点对应的参数分别为，所以，由此即可求出结果.

试题解析: （Ⅰ）消去参数得直线的普通方程为，

由得圆的直角坐标方程.

（Ⅱ）由直线的参数方程可知直线过点，

把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，

得，

化简得,，故设是上述方程的两个实数根，所以，

两点对应的参数分别为，

所以.

考点：1.参数方程；2.极坐标.

【方法点睛】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配，再利用互化公式转化．常见互化公式有等．

2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘除，方程两边同时平方等．

3．若直线与曲线相交于，直线的斜率为，联立直线与曲线的方程，消去，再利用韦达定理将及的值整体代入弦长公式中即可达到目的，此思路体现了“设而不求”的思想．