Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．（I）利用导数的运算法则可得，对分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对分类讨论，得到当，满足条件且（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．

试题解析: 【解析】
（Ⅰ）求导得

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；

若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意

若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意

若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

f（x）≤f（1）=0，合题意

故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．

当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）

＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），

∴．

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数单调性的性质．

【方法点睛】

一、利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论讨论点大体可以分成以下几类：1、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．

二、导数中的恒成立问题常见题型有：1、注意变量的选择，问题中常出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，这时习惯上已知谁的范围视为谁的函数，求谁的范围视作另一个变量的函数；2、 函数思想的灵活运用，可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．两个基本思想解决“恒成立问题”，做题思路1、 ；思路2、或者通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，再求函数最值．