Question

（1）在边长为1的正方形内任取一点，求事件“”的概率；（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数、，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对共有12对，请据此估计的近似值（精确到）．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出满足条件的点的图形，即可利用几何概型求解相应的概率；（2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，列出事件满足的条件，利用几何概型的计算公式，即可求解结论．

试题解析：（1）如图，在边长为1的正方形内任取一点，满足条件的点落在扇形内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：，

故事件“”发生的概率为．

（2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两个小于1的正数，，所有基本事件构成区域，即正方形内部；

事件“以，与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域，即扇形以外正方形以内的阴影部分；

由（1）知：，

全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数、，可以看作在区域中任取56个点；满足“以，与1为边长能构成锐角三角形”的共有12对，即有12个点落在区域中，

故其概率为，用频率估计概率，有，即，

∴，即的近似值为．

考点：几何概型概率的计算及应用．

【方法点晴】本题主要考查了几何概型问题，其中解答中涉及到几何概型及其概率的计算，几何概型的应用、以及不等式所表示的平面区域等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中仔细审题，转化为几何的度量关系是解答的关键．