Question

已知函数（为自然对数的底数），，．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的极小值；

（3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）求出在处的导数即得切线的斜率；求出切点坐标，根据点斜式方程求得切线方程；（2）讨论导函数的零点与定义域的关系得到其单调性，找出极小值点，求得极小值；（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，分别求出的最小值和的最小值，得到的范围.

试题解析：（1）因为，

所以，即切线的斜率为．

又，则切点坐标为，

故曲线在处的切线方程为，

即．

（2），

，又的定义域，

∴当时，令，或，

令，，

∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，

∴的极小值为，

当时，，

综上，．

（3）对任意的，总存在，

使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，

当时，，

在上递减，，

由（2）知，在上递增，

，

∴，即，又，

∴．

考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题，考查了转化的思想和函数的思想，属于中档题.求曲线某点处的导数本质上考查了导数的几何意义，根据导数求出切线斜率是解题的关键；研究函数的极值先研究求单调性，根据单调性找出极值点即可得到极值；本题的难点是解答第三问中含有两个量词的不等式，应该逐个进行转化，转化为求两个函数的最值，就容易求解了.