Question

如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．

（1）求索道的长；

（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer

（1）；（2）当时，甲、乙两游客距离最短；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据两角和公式求得，再根据正弦定理即可求得的长；（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，分别表示出甲、乙二人行走的距离，根据余弦定理建立的二次函数关系，求出使得甲乙二人距离最短时的值；（3）根据正弦定理求得,乙从出发时，甲已走了

，还需走710才能到达,设乙步行的速度为，由题意得,J解不等式即可求得乙步行速度的范围.

试题解析：（1）在中，因为，，

所以，，

从而．

由正弦定理，得（）．

（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，

所以由余弦定理得，

由于，即，

故当时，甲、乙两游客距离最短．

（3）由正弦定理，

得（）．

乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．

设乙步行的速度为，由题意得，解得，

所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．

考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.

【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.