Question

如图（1）所示，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将△沿折起到△的位置，如图（2）所示．

（1）证明：平面；

（2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由图（1）可得，由图（2）可得平面，根据线面垂直的性质可得平面；（2）由平面平面可得为二面角的平面角，所以，因此以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.

试题解析：（1）证明：在图（1）中，因为，，是的中点，

，所以，，

在图（2）中，，，

又，平面，平面，

从而平面，

又，

所以平面．

（2）由已知，平面平面，

又由（1）知，，，

所以为二面角的平面角，

所以，

如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

因为，，

所以，，，，

得，，．

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面的夹角为，

则得取；

得取；

从而，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

考点：空间中直线与平面平行、垂直关系，二面角.