Question

如图，五面体中，，底面是正三角形，，四边形是矩形，二面角为直二面角．

（1）在上运动，当在何处时，有平面，并说明理由；

（2）当平面时，求二面角余弦值．

Answer

（1）为中点；（2）.

【解析】

试题分析：（1）可先猜想，再证明.假设为中点时，有平面．连结交于，连结，可证得为中点，又为中点，从而，根据线面平行的判定定理即可证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得二面角余弦值．

试题解析：（1）当为中点时，有平面．

证明：连结交于，连结，

∵四边形是矩形，

∴为中点，又为中点，从而，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

所以，，

设为平面的法向量，则有即

令，可得平面的一个法向量为，

而平面的一个法向量为，

所以，

故二面角的余弦值为．

考点：空间中直线与平面平行、垂直关系，二面角.