Question

已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）（2）当时，在递增；当时，在递增，在上递减．当时，在递减．（3）

【解析】试题分析：（1）当时，在区间上的最值只可能在，，取到，；（2），．①当，即时，，∴在单调递减；②当时，，∴在单调递增；③当时，由，得或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；（3）由（2）知，当时，原不等式等价于

的取值范围为．

试题解析：（1）当时，，

∴，

∵的定义域为，∴由，得，

∴在区间上的最值只可能在，，取到，

而，，，

∴，．

（2），．

①当，即时，，∴在单调递减；

②当时，，∴在单调递增；

③当时，由，得，∴或（舍去），

∴在单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减．

（3）由（2）知，当时，，即原不等式等价于，

即，

整理得，

∴，

又∵，∴的取值范围为．

考点：1、函数与不等式；2、函数与方程；3、函数的单调性.

【方法点晴】本题考查函数与不等式、函数与方程、函数的单调性.，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.