Question

已知函数，．

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义建立方程求解；（2）借助题设运用转化化归的思想进行转化再运用导数知识求解；（3）依据题设先将问题进行转化,再借助导数知识分类整合思想分类探求求解.

试题解析：

（1）由，得，

由题意，所以．

（2），

因为对任意两个不等的正数，，都有，

设，则，即恒成立，

问题等价于函数，即在为增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即实数的取值范围是．

（3）不等式等价于，

整理得，

设，由题意知，在上存在一点，使得，

由，

因为，所以，令，得．

①当，即时，在上单调递增，

只需，解得．

②当，即时，在处取最小值，

令，即，可得，

考查式子，因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不可能成立．

③当，即时，在上单调递减，

只需，解得．

综上所述，实数的取值范围是．

考点：导数的知识及转化化归的数学思想及分类整合思想等知识和思想方法的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问求解时运用导数的几何意义建立方程求得；第二问求解时,先将不等式中的参数分离出来,再构造函数,然后运用二次函数知识求得其最大值为;第三问的求解过程中,先构造函数,再运用导数的有关知识及分类整合思想分类分析探求出参数的取值范围是.