Question

已知椭圆： 的左、右焦点分别为， ，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）不存在这样的点，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用椭圆定义建立方程求解；（2）借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求.

试题解析：

（1）设椭圆的焦距为，则，

因为在椭圆上，所以，

因此， ，故椭圆的方程为．

（2）椭圆上不存在这样的点．证明如下：

设直线的方程为，

设， ， ， ， 的中点为，

由得，

所以，且，故，且，

由知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此， 也是线段的中点，

所以，可得，

又，所以，

因此点不在椭圆上．

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合运用.

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件求出,再根据椭圆的定义求得,最终求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再运用直线与椭圆的位置关系建立方程组,进而运用方程的知识进行分析推断,使得问题获解.