Question

已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足.

（1）求的值；

（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若，令，表示数列的前项和.试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.

Answer

（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）存在关于的整式.

【解析】

（2）试题分析：（1）令，求得，令，求得；（2）令，求得，令，求得，所以函数为奇函数；（3）根据题意，当时，，令，则可猜想，根据，计算，所以，代入前项和可求得，使等式对于一切小于的自然数恒成立.

试题解析：

（2）令，得.

令，得，

∴.

（2）令，得，

∴.

令，得.

∴是奇函数.

（3）当时，.

令，则，

∴.

∴.

∴，则.

∴，∴.

即，

∴，

∴，

又

∴

∴.

故存在关于的整式，使等式对于一切小于2的自然数恒成立

考点：数列与函数.