选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，已知直线的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.
（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于
两点，求
的值.
选修4-1：几何证明选讲
如下图，四边形
内接于
，过点
作
的切线
交
的延长线于
，已知
.
（Ⅰ）若
是的直径，求
的大小；
（Ⅱ）若
，求证：
.
已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
已知椭圆
的中心在坐标原点，左、右焦点
分别在
轴上，离心率为
，在其上有一动点
，
到点
距离的最小值是1.过
作一个平行四边形，顶点
都在椭圆
上，如图所示.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）判断
能否为菱形，并说明理由.
（Ⅲ）当
的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.
如下图，在三棱柱
中，底面
是边长为2的等边三角形，
为
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若四边形
是正方形，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场没销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量
（单位：台，
）的函数解析式
；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量（单位：台），整理得下表：
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，
表示当周的利润（单位：元），求
的分布及数学期望.
