Question

如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（1）若线段的长为，求直线的方程；

（2）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．

【解析】

试题分析：（1）设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在点，利用等差中项和恒成立判定是否有解.

试题解析：（1）焦点∵直线的斜率不为，所以设，， 由得，，，，，

∴， ∴． ∴直线的斜率，∵，∴， ∴直线的方程为．

（2）设，，同理，，

∵直线，，的斜率始终成等差数列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．

考点：直线与抛物线的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系、等差中项，考查了方程思想和属于中档题.研究抛物线的焦点弦弦长问题首先考虑抛物线的定义，把焦点弦转化为两个焦半径的和，通过韦达定理求解；探索点的存在性问题，往往先假设存在定点，进行验证，题中要三条直线，，的斜率始终成等差数列，分别表示出它们的斜率，由等差中项列出关系式转化为方程恒成立问题.