Question

已知函数

（1）求的定义域.

（2）是否存在实数，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。  

（3）在（2）的条件下，令，求证：

Answer

【解析】

试题分析：（1）若函数有意义，则应满足，所以，则函数的定义域为；（2）根据第（1）问可知函数的定义域关于原点对称，若为奇函数，则，即，整理有：，即，所以，即存在实数使函数为奇函数；（3），所以，由于函数为奇函数，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，因此只要证明出当x>0时，即可。当时，，，，所以问题得证。

试题解析：（1）由得：

∴的定义域为

（2）由于的定义域关于原点对称，要使是奇函数，则对于定义域内任意一个，都有即：

解得：

∴存在实数，使是奇函数

（3）在（2）的条件下，，则

的定义域为关于原点对称，且

则为偶函数，其图象关于轴对称。

当时，即又，

∴

当时，由对称性得：分

综上：成立。

考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。