Question

在棱长为2的正方体中，设是棱的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接，，由于，所以底面，所以，所以平面，所以；（2）连接，设，根据中位线有，所以平面；（3）由（2）知，点到平面的距离等于点到平面的距离，由此求得体积.

试题解析：

（1）证明：连接，，

∵四边形是正方形，∴，

又∵底面，面，

∴，且，

∴平面，

又平面，∴.

（2）证明：连接，设，

则为的中点，为的中点，

∴为的中位线，

∴，平面，平面，

∴平面.

（3）由（2）知，点到平面的距离等于点到平面的距离，

∴三棱锥的体积是

，

∴三棱锥的体积为.

考点：空间立体几何证明平行垂直与求体积.

【方法点晴】要证明线线垂直，可以通过线面垂直、面面垂直来证明，本题第一问是通过线面垂直来证明.要证明线面平行，可以通过中位线、平行四边形或者面面平行来证明，本题第二问是通过构造中位线来证明.求几何体的体积，先判断几何体的结构，然后选择恰当的公式来解决，这里由于是三棱锥，所以采用换定点找高的方法来完成.