Question

已知函数的两个极值点为，且．

（1）求的值；

（2）若在（其中）上是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试分题析：对问题（1）首先对函数进行求导，并令，再结合韦达定理，即可求出实数的值，进而可得到值的；对题问（2）可以根据（1）的结论，并结合对的讨论，进而可求出的取值范围；对问题（3），可以通过引入函数，并通过求导判断其单调性，进而可证明，再根据已知条件可以证明，进而可证明所需结论.

试题解析：（1）∵，

∴由得，∴，∴

∴由得，

∵，∴，

（2）由（1）知，在上递减，在上递增，其中，

当在上递减时， ，又，∴，

当在上递增时， ，

综上，的取值范围为

（3）证明：设，则，令得；令得，

∴，∴

∵（当时取等号），

∴不等式成立（因为取等条件不相同，所以等号取不到）

考点：1.导数在函数研究中的应用；2.单调性；3.极值.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是，对问题（1）首先对函数进行求导，并令，再结合韦达定理，即可求出实数的值，进而可得到值的；对题问（2）可以根据（1）的结论，并结合对的讨论，进而可求出的取值范围；对问题（3），可以通过引入函数，并通过求导判断其单调性，进而可证明，再根据已知条件可以证明，进而可证明所需结论.