Question

已知椭圆，过椭圆右顶点和上顶点的直线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：对于问题（1）可以先根据题目的条件写出直线方程，再由直线与圆相切，即可求出的值，进而得到椭圆的方程；对于问题（2），首先讨论直线的斜率存在与否，当直线斜率存在时可设出直线的方程以及两点的坐标，联立椭圆与直线的方程，并结合韦达定理即可证出直线过定点，再验证直线的斜率不存在时，直线仍过该定点．

试题解析：（1）∵直线过点和，∴直线方程为，

∵直线与圆相切，∴，解得，

∴椭圆的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，设，则，由得，得

当直线的斜率存在时，设的方程为，

，

得，

，

即，

由，，

即，

故直线过定点．

考点：1.椭圆；2.直线与圆锥曲线的位置关系.