Question

已知圆.

（Ⅰ）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；

（Ⅱ）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得

取得最小值时点的坐标.

Answer

（I），或，或，或；（II）.

【解析】

试题分析：（I）当直线的截距为零时，设切线方程为，当直线的截距不为零时，设切线方程为，分别根据圆心到直线的距离等于圆的半径，求解的值，即可求解切线的方程；（II）由，得，当取最小值时，即取得最小值，直线，得出直线的方程为，联立方程组，即可求解的坐标.

试题解析：（I）将圆配方得，

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为，

由，解得，得，

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，

由，得，即，或，

∴直线方程为，或，

综上，圆的切线方程为，或，或，或.

（II）由，得，整理得，

即点在直线上，

当取最小值时，即取得最小值，直线，∴直线的方程为，

解方程组，得点的坐标为.

考点：直线与圆的位置关系的应用.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，直线的方程的求解，圆的切线的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟练掌握直线与圆相切所满足的条件，会根据调焦求解动点的轨迹方程，灵活运用点到直线的距离公式化简求值是解答的关键.