Question

已知函数，且.

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：.

Answer

（1）有极大值，函数有极小值；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先由得，令得增区间，令得减区间，进而可得的极大值与极小值；（2）令，分别在区间和区间上证明即可.

试题解析：【解析】
（1）依题意，，，，

故，

令，则或；令，则，

故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.

（2）由（1）知，令，

则，

可知在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减.令.

①当时，，，所以函数的图象在图象的上方.

②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为2，而，所以函数的图象也在图象的上方.

综上可知，当时，

考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式，属于难题.求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小.