Question

已知函数.

（1）求方程的根；

（2）求证：在上是增函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

Answer

（1）或；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）方程化为，先求得或，进而可得方程的解；（2）设可得，进而得，结论得证；（3）不等式恒成立等价于恒成立，先求得，可得最大值为，进而得实数的最小值.

试题解析：（1）【解析】
方程，即，亦即，∴或.

∴或.

（2）证明：设，

则，

∴，∴在上是增函数.

（3）由条件知.

因为对于恒成立，且，

.

又，∴由（2）知最小值为2，

∴时，最小为2-4+2=0.

考点：1、简单的指数方程；2、单调性的证明方法及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查、简单的指数方程、单调性的证明方法及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合（ 图象在 上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（3）是利用方法①求得的最小值的.