Question

如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点.

（1）求证：；

（2）已知，，求的长.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似，而证明三角形相似，一般先要证对应角相等：利用等量关系可得，而根据角平方线可得，即得，因此∽,即（2）先确定，再由切割线定理得是以为直径的圆的切线，所以，（为中点），可得

试题解析：（I）证明：因为于，所以

又因为所以

又因为平分，所以，

所以

又因为,所以∽,所以

故：

（II）【解析】
由可得：是以为直径的圆的切线

取中点连则，又因为，所以∥，所以

又因为，所以，所以，

所以

考点：三角形相似，切割线定理

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．