Question

已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.

Answer

（1）（2）坐标原点

【解析】

试题分析：（1）由题意得直角三角形为等腰直角三角形，所以，再根据面积得，解得（2）先探索：以为直径的圆过坐标原点，再以算代证：设，则只需证明，设方程，则只需证，由直线与圆相切可得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理给予证明.

试题解析：（I）因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以

,故椭圆的方程为，

（Ⅱ）圆的方程为,设为坐标原点

当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，

则，所以

所以为直径的圆过坐标原点

当直线的斜率存在时，设其方程设为，设

因为直线与相关圆相切，所以

联立方程组得,

即,

,

所以为直径的圆恒过坐标原点.

考点：直线与椭圆位置关系

【方法点睛】定点的探索与证明问题

（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．