Question

如图，直三棱柱中，，，点在线段上.

（1）若是中点，证明：平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值。

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，

ME为△ABC1的中位线，所以ME//AC1．

因为ME平面B1CM，AC1平面B1CM，所以AC1∥平面B1C

（II）,故如图建立空间直角坐标系

,,

令平面的法向量为

由，得设

所以,

设直线与平面所成角为

故当时，直线与平面所成角的正弦值为.

考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.