Question

设椭圆的左、右焦点分别为 ， ，点在椭圆上，且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线： 与椭圆交于， 两点，且，是否存在圆使得恰好是该圆的切线，若存在，求出；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在圆.

【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组，可求得，进而得椭圆方程；（2）将代入得，根据韦达定理及可得，再用点到直线的距离公式得即可.

试题解析：（1）∵，∴，

∵在椭圆上，∴，解得.

∴，解得，

∴椭圆.

（2）设，

将代入得，

∵，∴，

且， ，

∴，

∵，∴，即，

∴，

由和，得即可.

因为与圆相切，∴，

存在圆符合题意.

考点：1、待定系数求椭圆方程；2、韦达定理及点到直线距离公式.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程、韦达定理及点到直线距离公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．