Question

如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形.

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质与正三角形的性质可证，，得平面，进而；（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，而知是平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦，进而求得正弦值.

试题解析：（1）取的中点，连接，则四边形为矩形，

∴，

∵为等边三角形，

∴.

∵，

∴平面.

平面，.

（2）由（1）知，，过作平面，则两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

∵，

∴，∴平面，

∴，，

设平面的法向量为.

∵，，

∴，

∴，取，则，

设二面角为，则，

∴二面角的正弦值.

考点：1、线面垂直的判定和性质；2、空间向量夹角余弦公式.