Question

已知.

（Ⅰ）若，求方程的解；

（Ⅱ）若关于的方程在（0,2）上有两个解，，求的取值范围，并证明.

Answer

（Ⅰ）或.（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定义分类讨论方程的【解析】
①当，解方程，得；②当，解方程，得；（Ⅱ）因为在（0,2）上有两个解，，所以；即，，消去，得，从而，得证.

试题解析：（1）当时，，

①当，即或时，方程化为，解得，

因为，舍去，所以；

②当，即时，方程化为，解得：；

由①②得，当时，方程的解为或.

（2）不妨设，因为，

所以在是单调函数，故在上至多一个解，

若，则，故不符题意，因此；

由，得，所以；由，得，所以；

故当时，方程在上有两个解；

因为，所以，，

消去，得，即，因为，所以.

考点：利用绝对值定义解不等式

【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．