Question

已知数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设函数，数列满足条件，，，若，求数列的前项和.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由和项求通项，注意分类讨论：当时，，当时，，因此数列成等比数列，首项为2，公比为2，通项为（Ⅱ）先根据指数性质化简得，所以数列成等差数列，解出其通项公式，最后利用错位相减法求数列的前项和.

试题解析：（1）因为，所以，.

当时，.

当时，，满足上式，所以.

（2）①∵，，

∴，∴.

∴,,

，又∵，

∴是以2为首项3为公差的等差数列，

∴.

②

①

②

①-②得

考点：由和项求通项，等差与等比数列定义，错位相减法求和

【方法点睛】等比数列的判定方法

（1）定义法：若（q为非零常数）或（q为非零常数且n≥2），则{an}是等比数列；

（2）等比中项法：在数列{an}中，an≠0且（n∈N*），则数列{an}是等比数列；

（3）通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列；

（4）前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则{an}是等比数列.