Question

已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求的前项和为；

（3）记，，证明：，.

Answer

（1），，；（2）；（3），.

【解析】

试题分析：（1）可直接利用首项和公差、公比，根据条件列出方程组，求出首项和公差、公比，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得，可利用乘公比错位相减法求和，即可得到数列的和；（3）先借助乘公比错位相减法求出的表达式，再代入所要证明的结论的两边，即可得出结论是成立.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由，得，，.

由条件，得方程组，解得.

所以，，.

（2）∵

∴

∴

∴

（3）由（1）得：，①

，②

由②-①得：

而

故，.

考点：等差数列与等比数列的综合应用；数列求和.

【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列与等比数列的综合问题和数列的求和，其中涉及到数列的乘公比错位相减法求和的应用，其中试题的运算量大，需要细心、准确计算，解答此类问题的关键在于熟练掌握数列的基础知识、基本公式，基本方法的灵活应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于难题.