Question

已知函数.

（1）设,求的零点的个数；

（2）设,且对于任意,试问是否一定为负数, 并说明理由.

Answer

（1）时, 无零点，时有一个零点，时有两个零点；（2）一定为负数，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）由，得，求得，进而对分类讨论，即可得到不同情况下的函数的零点的个数；

（2）由时，对于任意，则函数由得 是的唯一的极小值点，进而得到，令，利用导数确定最值，即可得到结论.

试题解析：（1）.

若在

① 时, 无零点;

②时有一个零点;

③时有两个零点.

时,

①,只有一个零点;

②只有一个零点;

③只有一个零点,

综上得：时，无零点；或时有一个零点; 时有两个零点.

（2）由，且对于任意.

由得是的唯一的极小值点,

故,整理得即.

令,则,

令得,当时, 单调递增;

当时, 单调递淢, 因此,

故,即,即一定为负数.

考点：利用导数研究函数的性质；函数的零点.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及函数的零点问题，其中涉及到函数的单调性的应用和函数的构造思想，着重考查了分类讨论思想、转化与化归思想的应用，试题难度较大，属于难题，此类问题往往思维深度大、运算繁琐，需要平时注意方法的积累与总结.