Question

若椭圆的离心率等于,抛物线的焦点在椭圆的顶点上.

（1）求抛物线的方程；

（2）设和为抛物线上的两个动点, 其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的方程，可得，再由离心率，解得，确定抛物线的焦点坐标，得到抛物线的标准方程；（2）设线段中点，得出直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，再利用点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解即可.

试题解析：（1）已知椭圆的长半轴长为,半焦距,

由离心率,得椭圆的上顶点为,

即抛物线的焦点为,,抛物线的方程为.

（2）设线段中点,则

直线的方程为,即过定点.

联立,

得,

,

设到的距离.

当且仅当,即时取等号，的最大值为.

考点：椭圆与抛物线的标准方程及简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆与抛物线的标准方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，此类问题的解答中，利用直线与圆锥曲线方程联立，转化为一元二次方程的根与系数的关系，韦达定理的应用是解答的关键，同时这类问题思维难度深、运算量大，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力.