Question

如图, 正三棱柱的所有棱长都有为中点.

（1）求证: 面面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）取中点,连结，由已知条件推导出平面，连结，，即可利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直；（2）设与交于点，在平面中，作于，连结，则为二面角的平面角，由此能求解二面角的余弦值.

试题解析：（1）取中点,连结为正三角形,

正三棱柱中, 平面平面平面,

连结,在正方形中, 分别为的中点,.

在正方形中,平面,

面面面.

（2）设与交于点,在平面中, 作于,连结.

由（1）得

平面.为二面角的平面角.

在中, 由等面积法可求得,

又.

所以二面角的平面角的余弦值.

考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解.