Question

从某地区一次中学生知识竞赛中, 随机抽取了名学生的成绩, 绘成如图所示的列联表 （甲组优秀, 乙组一般）:

	甲组	乙组	合计
男生
女生
合计

（1）试问有没有的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；

（2）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取人，再从人中随机抽取人，那么至少有人在甲组的概率是多少？

②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取人，用表示所选人中甲组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望.

，其中

独立性检验临界表:

Answer

（1）没有的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；（2）①；②分布列见解析，．

【解析】

试题分析：（1）利用独立性检验的公式，求解，即可利用表中的数据做出判定；（2）根据题意，判定服从二项分布，即可求解随机变量的分布列及其数学期望.

试题解析：（1） 作出列联表:

甲组

乙组

合计

男生

女生

合计

由列联表数据代入公式得

因为,故没有的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关.

（2）①用表示“至少有人在甲组”, 则.

②由题知, 抽取的名学生中有名学生是甲组学生,

抽取名学生是甲组学生的概率为,

那么从所有的中学生中抽取名学生是甲组学生的概率是,

又因为所取总体数量较多, 抽取名学生可以看出次独立重复实验,

于是服从二项分布.显然的取值为,且.

所以得分布列为:

数学期望.

考点：独立性检验；二项分布的期望与方差.