Question

设定义在上的函数，且对任意有，且当时，．

（1）求证：，且当时，有；

（2）判断在上的单调性；

（3）设集合，集合，若，求的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）在上单调递减；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由所给函数满足的条件,用特殊值法令,可得,再利用,可得与之间的关系,由时,范围,可得时,范围；（2）由函数单调性的定义出发,可判断函数单调性；（3）结合条件由可得,由可得,由,将两式联立可得一元二次不等式无解,可得关于的不等式,解可得的范围.

试题解析：

（1）由题意知，

令，则，

因为当时，，所以，

设，则，

所以

即当时，有．

（2）设是上的任意两个值，且，则，所以，

因为，且，

所以，即，即．

所以在上单调递减．

（3）因为，所以，由（2）知在上单调递减，则，

又，所以，

因为，

又由得，

由题可知上式无解

即，即，解得：，

故的取值范围为．

考点：1.函数单调性；2.一元二次不等式；3.集合的交集.